文章目录
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- 一、问题背景
- 二、实验目的
- 三、实验原理与数学模型
- 四、实验所用软件
- 五、主要内容
- 六、实验过程
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- 1. 函数极限的求解和两个重要极限
- 2. 导数与微分的研究
- 3. 定积分与不定积分以及重积分的研究
- 4. 求微分方程的解析解
- 七、实验结果报告与总结
- 八、思考与深入
一、问题背景
高等数学应用非常广，基本上涉及到函数的地方都要用到微积分，还有在几何方面也是如此，计算机的应用让我们能简单快速处理各种高等数学中的计算，比如极限、导数、积分、微分方程等的计算。
二、实验目的
使用 Python 通过计算与作图，加强对极限、导数、积分等概念的理解，并掌握它们计算方法，以及求微分方程和方程组解析解的方法。
三、实验原理与数学模型
-
函数极限
lim
x
→
a
f
(
x
)
=
A
\lim_{x \to a}{f(x)}=A
limx→af(x)=A求解讨论以及两个重要极限
lim
x
→
0
s
i
n
(
x
)
x
=
1
\lim_{x \to 0}{\frac{sin(x)}{x}}=1
limx→0xsin(x)=1和
lim
x
→
∞
(
1
+
1
x
)
x
=
e
\lim_{x \to \infty}{(1+\frac{1}{x})^x}=e
limx→∞(1+x1)x=e的验证。
-
导数概念和导数的几何意义，以及计算多元函数偏导数和全微分的方法。
-
一元函数积分学
∫
f
(
x
)
d
x
\int{f(x)dx}
∫f(x)dx和多元函数积分学
∬
f
(
x
,
y
)
d
x
d
y
\iint{f(x,y)}dxdy
∬f(x,y)dxdy。
-
微分方程和方程组在有无初始条件的分析。
四、实验所用软件
- Python 3.7
- NumPy 1.16.4
- SymPy 1.4
- Matplotlib 3.1.1
五、主要内容
- 函数极限的求解和两个重要极限的探究；
- 导数、高阶导数以及隐函数、参数方程定义函数导数的求解，多元函数偏导数和全微分的求解；
- 计算定积分和不定积分以及重积分的方法；
- 求解微分方程以及方程组解析解的方法。
六、实验过程
1. 函数极限的求解和两个重要极限
在这个实验中我们通过对简单的函数进行单侧极限的求解，并且分析两个重要极限。
例 1：考虑函数
y
=
a
r
c
t
a
n
(
1
x
)
y=arctan(\frac{1}{x})
y=arctan(x1) 在
x
=
0
x=0
x=0的左右极限。
解：编写Python代码如下：
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
import sympy as sp
# 求函数 y=arctan(1/x) 的左右极限
x = sp.Symbol('x')
fr = sp.atan(1 / x)
xl = sp.limit(fr, x, 0, dir='-')
xr = sp.limit(fr, x, 0, dir='+')
print('%s 左极限是：%s' % (str(fr), str(xl)))
print('%s 右极限是：%s' % (str(fr), str(xr)))
# 绘制函数 y=arctan(1/x) 的图像
x = np.arange(-6, 6, 0.01)
y = np.arctan(1 / x)
plt.title('y=arctan(1/x)')
plt.plot(x, y)
plt.show()
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运行代码输出结果和绘制图像：
atan(1/x) 左极限是：-pi/2
atan(1/x) 右极限是：pi/2
- 1
- 2
根据计算结果和绘制的图像分析求得出题中函数的左右极限分别为
−
π
2
-\frac{\pi}{2}
−2π和
π
2
\frac{\pi}{2}
2π。
例 2：两个重要极限
lim
x
→
0
s
i
n
(
x
)
x
=
1
\lim_{x \to 0}{\frac{sin(x)}{x}}=1
limx→0xsin(x)=1 和
lim
x
→
∞
(
1
+
1
x
)
x
=
e
\lim_{x \to \infty}{(1+\frac{1}{x})^x}=e
limx→∞(1+x1)x=e 的验证。
解：编写Python代码如下：
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
import sympy as sp
# 分析两个重要极限
x = sp.Symbol('x')
f1 = sp.sin(x) / x
f2 = (1 + 1 / x) ** x
x1 = sp.limit(f1, x, 0)
x2 = sp.limit(f2, x, 'oo')
print('%s 第一重要极限的值：%s' % (str(f1), str(x1)))
print('%s 第二重要极限的值：%s' % (str(f2), str(x2)))
# 绘制函数图像分析两个重要极限
x1 = np.arange(-3, 3, 0.01)
x2 = np.arange(0.01, 100, 0.1)
y1 = np.sin(x1) / x1
y2 = (1 + 1 / x2) ** x2
plt.figure(figsize=(12, 5))
plt.subplot(121)
plt.title('y=sin(x)/x')
plt.plot(x1, y1)
plt.subplot(122)
plt.title('y=(1+1/x)**x')
plt.plot(x2, y2)
plt.show()
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运行代码输出结果和绘制图像：
sin(x)/x 第一重要极限的值：1
(1 + 1/x)**x 第二重要极限的值：E
- 1
- 2
根据上图变化趋势理解函数极限和程序得出的答案，验证两个重要极限。
2. 导数与微分的研究
在这个实验中，我们探究导数概念及其几何意义，高阶导数，隐函数导数，参数方程定义的函数导数，以及求解多元函数偏导数和全微分。
例 1：求
f
(
x
)
=
2
x
3
+
3
x
2
−
12
x
+
7
f(x)=2x^3+3x^2-12x+7
f(x)=2x3+3x2−12x+7 的导函数，并作出该函数图形和在
x
=
−
1
x=-1
x=−1 处的切线。
解：编写Python代码如下：
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
import sympy as sp
# 导数与微分
x = sp.Symbol('x')
f = 2 * x ** 3 + 3 * x ** 2 - 12 * x + 7
d = sp.diff(f)
print('%s 的导函数为：%s' % (f, d))
y_d = d.evalf(subs={x: -1})
y_h = f.evalf(subs={x: -1})
print('将x=-1代入导函数求解为：%d' % (y_d))
print('将x=-1代入原函数求解为：%d' % (y_h))
f_d = y_d * (x + 1) + y_h
print('得出切线方程为：%s' % f_d)
# 绘制函数图和切线图
x = np.arange(-4, 3, 0.01)
y1 = 2 * x ** 3 + 3 * x ** 2 - 12 * x + 7
y2 = 8 - 12 * x
plt.title('函数y=2*x**3+3*x**2-12*x+7以及当x=-1时的切线')
plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']
plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False
plt.plot(x, y1, x, y2)
plt.show()
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运行代码输出结果和绘制图像：
2*x**3 + 3*x**2 - 12*x + 7 的导函数为：6*x**2 + 6*x - 12
将x=-1代入导函数求解为：-12
将x=-1代入原函数求解为：20
得出切线方程为：8.0 - 12.0*x
- 1
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最后执行便在同一个坐标系内作出了函数
f
(
x
)
f(x)
f(x)的图形和它在
x
=
−
1
x=-1
x=−1 处的切线（直线为切线）。
此两行代码是为了解决在绘图中中文显示乱码的问题。
plt.rcParams['font.sans-serif']=['SimHei'] plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False
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- 2
例 2：求函数
y
=
x
10
+
2
(
x
−
10
)
9
y=x^{10}+2(x-10)^9
y=x10+2(x−10)9 的1阶到11阶导数。
解：编写Python代码如下：
import sympy as sp
x = sp.Symbol('x')
y = x ** 10 + 2 * (x - 10) ** 9
for n in range(1, 12):
y = d = sp.diff(y)
print('第%2d阶导数为：%s' % (n, d))
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运行代码输出结果：
第 1阶导数为：10*x**9 + 18*(x - 10)**8
第 2阶导数为：90*x**8 + 144*(x - 10)**7
第 3阶导数为：720*x**7 + 1008*(x - 10)**6
第 4阶导数为：5040*x**6 + 6048*(x - 10)**5
第 5阶导数为：30240*x**5 + 30240*(x - 10)**4
第 6阶导数为：151200*x**4 + 120960*(x - 10)**3
第 7阶导数为：604800*x**3 + 362880*(x - 10)**2
第 8阶导数为：1814400*x**2 + 725760*x - 7257600
第 9阶导数为：3628800*x + 725760
第10阶导数为：3628800
第11阶导数为：0
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输出即为题中要求所得函数高阶导数。
例 3：求由方程
2
x
2
−
2
x
y
+
y
2
+
x
+
2
y
+
1
=
0
2x^2-2xy+y^2+x+2y+1=0
2x2−2xy+y2+x+2y+1=0 确定的隐函数的导数。
解：编写Python代码如下：
import sympy as sp
x, y = sp.symbols('x y')
z = 2 * x ** 2 - 2 * x * y + y ** 2 + x + 2 * y + 1
d = -sp.diff(z, x) / sp.diff(z, y)
print('原方程导数为：%s' % d)
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运行代码输出结果：
原方程导数为：(-4*x + 2*y - 1)/(-2*x + 2*y + 2)
- 1
该实验根据隐函数求导公式
d
y
d
x
=
−
F
x
F
y
\frac{dy}{dx}=-\frac{F_x}{Fy}
dxdy=−FyFx 求得，然后再根据一般求导公式即可求出结果。
例 4：求由参数方程
x
=
e
t
c
o
s
(
t
)
,
y
=
e
t
s
i
n
(
t
)
x=e^tcos(t), y=e^tsin(t)
x=etcos(t),y=etsin(t) 确定的函数的导数。
解：编写Python代码如下：
import sympy as sp
t = sp.Symbol('t')
x = sp.exp(t) * sp.cos(t)
y = sp.exp(t) * sp.sin(t)
d = sp.diff(y, t) / sp.diff(x, t)
print('原参数方程导数结果为：%s' % d)
d = sp.simplify(d)
print('原参数方程导数化简为：%s' % d)
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运行代码输出结果：
原参数方程导数结果为：(exp(t)*sin(t) + exp(t)*cos(t))/(-exp(t)*sin(t) + exp(t)*cos(t))
原参数方程导数化简为：tan(t + pi/4)
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- 2
根据参数方程求导法则最后求得由参数方程确定函数的导数。
例 5：设
z
=
s
i
n
(
x
y
)
+
c
o
s
2
(
x
y
)
z=sin(xy)+cos^2(xy)
z=sin(xy)+cos2(xy) ，求
∂
z
∂
x
,
∂
z
∂
y
,
∂
2
z
∂
x
2
,
∂
2
z
∂
x
∂
y
\frac{\partial{z}}{\partial{x}}, \frac{\partial{z}}{\partial{y}}, \frac{\partial^2z}{\partial{x^2}}, \frac{\partial^2z}{\partial{x}\partial{y}}
∂x∂z,∂y∂z,∂x2∂2z,∂x∂y∂2z 。
解：编写Python代码如下：
import sympy as sp
x, y = sp.symbols('x y')
z = sp.sin(x * y) + (sp.cos(x * y)) ** 2
d1 = sp.diff(z, x)
d2 = sp.diff(z, y)
d3 = sp.diff(z, x, 2)
d4 = sp.diff(sp.diff(z, x), y)
print('第一偏导数为：%s' % d1)
print('第二偏导数为：%s' % d2)
print('第三偏导数为：%s' % d3)
print('第四偏导数为：%s' % d4)
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运行代码输出结果：
第一偏导数为：-2*y*sin(x*y)*cos(x*y) + y*cos(x*y)
第二偏导数为：-2*x*sin(x*y)*cos(x*y) + x*cos(x*y)
第三偏导数为：y**2*(2*sin(x*y)**2 - sin(x*y) - 2*cos(x*y)**2)
第四偏导数为：2*x*y*sin(x*y)**2 - x*y*sin(x*y) - 2*x*y*cos(x*y)**2 - 2*sin(x*y)*cos(x*y) + cos(x*y)
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以上为多元函数偏导数的结果。
3. 定积分与不定积分以及重积分的研究
在这个实验中，我们研究定积分与不定积分的计算，以及多重积分的计算，深入理解曲线积分、曲面积分的概念个计算方法。
例 1：计算
∫
4
−
x
2
d
x
\int{\sqrt{4-x^2}dx}
∫4−x2dx 和
∫
1
2
4
−
x
2
\int_1^2{\sqrt{4-x^2}}
∫124−x2 。
解：编写Python代码如下：
import sympy as sp
x = sp.Symbol('x')
y = sp.sqrt(4 - x ** 2)
i1 = sp.integrate(y, x)
i2 = sp.integrate(y, (x, 1, 2))
print('不定积分的结果为：%s' % i1)
print('定积分的结果为：%s' % i2)
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运行代码输出结果：
不定积分的结果为：x*sqrt(4 - x**2)/2 + 2*asin(x/2)
定积分的结果为：-sqrt(3)/2 + 2*pi/3
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- 2
使用 Python 求解不定积分时，会省略积分的常数。
例 2：计算三重积分
∭
(
x
2
+
y
2
+
z
)
d
x
d
y
d
z
\iiint{(x^2+y^2+z)dxdydz}
∭(x2+y2+z)dxdydz ，其中
Ω
\Omega
Ω 由曲面
z
=
2
−
x
2
−
y
2
z=\sqrt{2-x^2-y^2}
z=2−x2−y2 与
z
=
x
2
+
y
2
z=\sqrt{x^2+y^2}
z=x2+y2 围成。
解：编写Python代码作出区域
Ω
\Omega
Ω 的图形，如下：
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D
x = np.arange(-1, 1, 0.05)
y = np.arange(-1, 1, 0.05)
x, y = np.meshgrid(x, y)
z1 = np.sqrt(x ** 2 + y ** 2)
z2 = np.sqrt(2 - x ** 2 - y ** 2)
ax = Axes3D(plt.figure())
plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']
plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False
ax.set_title('三重积分曲面')
ax.plot_surface(x, y, z1)
ax.plot_surface(x, y, z2)
plt.show()
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将方程转换为柱坐标计算，然后确定积分限，编写Python代码：
import sympy as sp
r, s, z = sp.symbols('r s z')
f = (r ** 2 + z) * r
i = sp.integrate(sp.integrate(sp.integrate(f, (z, r, sp.sqrt(2 - r ** 2))), (r, 0, 1)), (s, 0, 2 * sp.pi))
print('三重积分计算结果为：%s' % i)
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运行代码输出结果：
三重积分计算结果为：2*pi*(-5/12 + 8*sqrt(2)/15)
- 1
4. 求微分方程的解析解
在这个实验中，我们用通过 Python 来求解微分方程的通解，在初始条件下的特解，以及微分方程组在初始条件下的特解。
例 1：求微分方程
y
′
+
2
x
y
=
x
e
−
x
2
y’+2xy=xe^{-x^2}
y′+2xy=xe−x2 的通解。
解：编写Python代码如下：
import sympy as sp
x = sp.Symbol('x')
f = sp.Function('f')
y = f(x)
d = sp.Eq(y.diff(x) + 2 * x * y, x * sp.exp(-x ** 2))
diff = sp.dsolve(d, y)
print('微分方程的通解为：%s' % diff)
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运行代码输出结果：
微分方程的通解为：Eq(f(x), (C1 + x**2/2)*exp(-x**2))
- 1
例 2：求微分方程
x
y
′
+
y
−
e
−
x
=
0
xy’+y-e^{-x}=0
xy′+y−e−x=0 在初始条件
y
∣
x
=
1
=
2
e
y|_{x=1}=2e
y∣x=1=2e 下的特解。
解：编写Python代码如下：
import sympy as sp
x = sp.Symbol('x')
f = sp.Function('f')
y = f(x)
d = sp.Eq(x * y.diff(x) + y - sp.exp(-x), 0)
diff = sp.dsolve(d, y, ics={f(1): 2 * sp.exp(1)})
print('微分方程的特解为：%s' % diff)
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运行代码输出结果：
微分方程的特解为：Eq(f(x), ((1 + 2*exp(2))*exp(-1) - exp(-x))/x)
- 1
七、实验结果报告与总结
通过本次实验，我深入理解了函数极限，导数与微分，定积分与不定积分的概念，通过作图与观察，更熟练掌握了微积分学中的各种计算与求解方法，加深了对微分方程的理解，以及对多元函数微分学与积分学的深刻理解。
八、思考与深入
- 利用导数求多项式方程近似解以及函数的极值和单调区间；
- 利用重积分求空间图形的体积和平面图形的面积，计算曲线积分和曲面积分；
- 利用欧拉折线法和龙格-库塔法求微分方程近似解。
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