用Python理解极限，看了这个就不会挂高数了

2022年 11月 16日

用Python理解极限，看了这个就不会挂高数了

文章目录

- 1 状态变化
- 2 极限语言
- 3 序列与函数
- 4 极限常数
- - 圆周率 $\pi$
    $π$
  - 自然对数e
  - 欧拉常数 $\gamma$
    $γ$
- 5 洛必达法则

1 状态变化

若将数学整体划分为三类，则可概括为代数、几何与分析。对于前两者，我们很早就建立了直观的概念，对于空间结构及其性质的研究，即为几何；以数为核心的研究领域，即为代数。

而分析则具备更多的非数学的内涵，误导性很强，初学者若望文生义，则更倾向于将“分析”理解为一门数学技巧，而非数学领域。

初学数学分析时，是将其等同为微积分的，而微积分的理论基础建立在极限之上。所以，极限可作为分析学的根基，为此，需要去理解极限的本质，而极限本身则是一个动态的过程，例如下面这个重要极限

lim

⁡

→

(

)

\lim_{x\to 0}\frac{sin(x)}{x}=1

$x \to 0 lim \frac{s i n ( x )}{x} = 1$

对于上式，表示当x趋于0的时候，这个分式等于1，需要注意，这里是等于号，而非约等。当我们以初等的观念去理解这个等式的时候，会自动附加一些特殊的约定：

$x\to0 x→0即 x = 0 x=0 x=0$
0是有阶数的，对于 $\frac{0^m}{0^n} 0n0m，当 m > n m>n m>n时，值为0， m < n m<n m<n时，值为无穷大， m = n m=n m=n时，值为常数。$
$\sin0 sin0和 0 0 0具有相同的阶数，且二者相等。$

通过这三个约定，可以很方便地去计算一切涉及到

sin

⁡

\sin0

$sin 0$ 和

$0$ 的比值问题。但这种理解并不自然，随着接触的极限表达式越来越多，需要更多的约定来促使极限理论趋于完整。

如以一种动态的眼光去审视这个重要极限，可能理解会发生变化。考虑到画图的方便，对上式稍作改动，

lim

⁡

→

∞

sin

⁡

\lim_{x\to\infty}x\sin\frac{1}{x}=1

$x \to \infty lim x sin \frac{1}{x} = 1$

则令

sin

⁡

y=x\sin\frac1 x

$y = x sin \frac{1}{x}$ 在这里插入图片描述

则随着

$x$ 不断变大，

$y$ 将不断地趋近于1，如图所示

其python代码为

#导入数学计算和绘图包，后面所有代码都需要导入，但不在
import numpy as np  
import matplotlib.pyplot as plt
x = np.arange(1,100)    #定义x为1到100的数组，即1,2...99
y = x*np.sin(1/x)
plt.plot(x,y)   #绘制y对x的变化关系
plt.show()      #将图像显示在屏幕上

这个趋势表明，极限是一种动态过程，相应地分析是建立在状态变化上的一种动态的数学。

一旦建立了这种动态的思维，就会发现原本安定本分的数学世界也发生了微妙的变化，例如，我们又将如何理解1这个整数。

例如无限循环小数0.999...=1这个反直觉的等式是否严格。在初等的观点看来，可以很容易得到

0.999…

9.999…

→

(

−

)

∗

0.999…

→

0.999…

10 \times 0.999…=9.999…\to (10-1)*0.999…=9\to0.999…=1

$10 \times 0.999 . . . = 9.999 . . . \to (10 - 1) * 0.999 . . . = 9 \to 0.999 . . . = 1$ 。

进而敏锐地发现，若用一种不厌其烦的方式去求解分式

\frac{1}{1}

$\frac{1}{1}$ ，会更加自然地得到0.999...

但无论如何，0.999...=1是反直觉的，反来自于初等数学的直觉。换句话说，初等数学的直觉存在矛盾，我们需要一个更加严格的有关极限的定义和表示，尤其需要建立一种可以称之为相等的映射关系。

2 极限语言

初学数学分析，很多人都对

−

\varepsilon-N

$ε - N$ 深恶痛绝，更妙的是，不理解这种表达方式，对做题似乎影响不大。大部分人通过加深对上面的那三个约定（以及更多约定）的记忆来完成解题，从而避免了加深对数学对象的理解。

但

−

\varepsilon-N

$ε - N$ 语言并不难理解，回想初次接触无穷这个概念的时候，最常用到的案例就是论证自然数的个数，即无论你举出一个多么大的自然数，我都能举出一个更大的数，所以自然数是无穷的。

相应地，现有一数列

{

}

\{x_n\}

${x_{n}}$ ，随着n越来越大，若

x_n

$x_{n}$ 也趋于无穷大，则可用相同的方式来表述：无论你举出一个多么大的数

$E$ ，我都可以找到一个

$n$ ，使得

x_n>E

$x_{n} > E$ 。但和自然数不同，这个数列未必单调，也未必发散，所以需要另加上一句对于所有m>n，有

x_m>E

$x_{m} > E$ 。这样就能确保我们的这个数列

x_n>E

$x_{n} > E$ 是发散的了。

至此，无穷极限已经获得了一个规范的定义：假定对于任意大的

E>0

$E > 0$ ，都存在正整数

$N$ ，使得一切

n>N

$n > N$ ，不等式

∣

|x_n|>E

$∣ x_{n} ∣ > E$ 成立，则称序列

{x_n}

$x_{n}$ 的极限是

∞

\infty

$\infty$ ，记作

lim

⁡

→

∞

\lim_{n\to\infty}x_n=\infty

$lim_{n \to \infty} x_{n} = \infty$ 。

有穷极限亦然，对于数列

{

}

\{x_n\}

${x_{n}}$ ，如果当

→

∞

n\to\infty

$n \to \infty$ 时，

x_n=a

$x_{n} = a$ ，则对于所有更大的

$n$ ，都使得

x_n

$x_{n}$ 更接近

$a$ 。

\varepsilon

$ε$ 就是对这种更接近的一种描述，由此而得到了对有穷极限的定义：

假定对于任意小的

\varepsilon

$ε$ ，都存在正整数

$N$ ，使得对于一切的

n>N

$n > N$ ，不等式

∣

−

∣

|x_n-a|<\varepsilon

$∣ x_{n} - a ∣ < ε$

则称序列

{

}

\{x_n\}

${x_{n}}$ 以

$a$ 为极限，或者收敛于

$a$ ，记为

lim

⁡

→

∞

\lim_{n\to\infty}x_n=a

$lim_{n \to \infty} x_{n} = a$ 。

在这种极限观点下，回头再看上文所列举的两个式子，可能会显得更加严谨。首先，对于重要极限

lim

⁡

→

∞

(

)

\lim_{x\to\infty}xsin(\frac{1}{x})=1

$lim_{x \to \infty} x s i n (\frac{1}{x}) = 1$ ，假设

0.01

\varepsilon=0.01

$ε = 0.01$ ，那么选取

N=10

$N = 10$ ,

x = np.arange(10,100)
y = 1-x*np.sin(1/x)
plt.plot(x,y)
plt.show()

其图像为

在这里插入图片描述

可见，当

x>N

$x > N$ 时，

∣

sin

⁡

(

)

−

∣

|x\sin(\frac{1}{x})-1|<\varepsilon

$∣ x sin (\frac{1}{x}) - 1 ∣ < ε$ 。由于

\varepsilon

$ε$ 可任意选取，故可以继续减小

\varepsilon

$ε$ 的值，但无论

\varepsilon

$ε$ 小到什么程度，我们都可以找到一个

$N$ ，使之满足极限的定义式。

对于0.999...，我们可以构造一个数列

−

y=1-0.1^x

$y = 1 - 0 . 1^{x}$ ，当

→

∞

x\to\infty

$x \to \infty$ 时，

→

y\to0

$y \to 0$ ，也就是说，对于任意小的一个

\varepsilon

$ε$ ，我们总能找到一个

$N$ ，使得

x>n

$x > n$ 时，

0.1^x<\varepsilon

$0 . 1^{x} < ε$ 。

3 序列与函数

数列和函数都是一种映射关系，区别在于，序列是定义域为正整数的特殊函数。而微积分中主要研究的名为函数的映射，都定义在实数域上。从而在函数的定义域中，随便抽选出一个区间

[

]

[a,b]

$[a, b]$ ，只要

≠

a\not =b

$a \neq = b$ ，则区间中的元素个数就是无穷多个。

极限在

−

\varepsilon-N

$ε - N$ 意义上重新定义了相等，从而意味着每一个实数都包含了无穷多种初等的表示，即

0.999…0

0.999…1

0.999…

1=0.999…0=0.999…1=0.999…n,n

$1 = 0.999 . . . 0 = 0.999 . . . 1 = 0.999 . . . n, n$ 为任意长度的数串，中间的无穷多位，导致末位信息在变得毫无意义，或者更确切地说，根本不存在最后一位。

如果异想天开地希望建立整数与实数的对应关系，例如将整数环映射到区间

[

−

]

[-1,1]

$[- 1, 1]$ 内，这个区间也将变得十分密集，对于区间

[

]

[a,b]

$[a, b]$ ，也同样只要

≠

a\not =b

$a \neq = b$ ，则区间内存在无穷多个元素。

在实数区间

[

−

]

[-1,1]

$[- 1, 1]$ 里，当

→

x\to\ 0

$x \to 0$ 时，

(

)

y(x)=y_0

$y (x) = y_{0}$ ，则对任意小的

\varepsilon>0

$ε > 0$ ，都存在一个实数

\delta

$δ$ ，使得区间

[

−

]

[-\delta,\delta]

$[- δ, δ]$ 内的

$x$ 满足

∣

−

(

)

∣

|y_0-y(x)|<\varepsilon

$∣ y_{0} - y (x) ∣ < ε$ 。由于整数环和

[

−

]

[-1,1]

$[- 1, 1]$ 区间存在某种映射，所以对于任意小的一个

\delta

$δ$ ，都可以在整数映射的区间

[

−

]

[-1,1]

$[- 1, 1]$ 中找到无穷多个

′

\delta'<\delta

$δ^{'} < δ$ ，从而在区间

[

−

′

]

[-\delta’,\delta’]

$[- δ^{'}, δ^{'}]$ 内存在同样的极限。

当然，通过整数除以正无穷得到

[

−

]

[-1,1]

$[- 1, 1]$ 的一个子区间，似乎在技术上是不可实现的，因为目前来说

∞

\infty

$\infty$ 是没法做分母的，表达式

∞

\frac{n}{\infty}

$\frac{n}{\infty}$ 在

≠

∞

n\not= \infty

$n \neq = \infty$ 时，其值为0，否则为不定式。

但是，如以一种更动态的眼光去看待整数映射的

[

−

]

[-1,1]

$[- 1, 1]$ 。对于任意小的一个

\delta

$δ$ ，都可以在整数环中找到一个

$N$ ，从而在序列

−

(

−

)

−

-1,\frac{-(N-1)}{N},…\frac{-1}{N},0,\frac{1}{N}…1

$- 1, \frac{- ( N - 1 )}{N}, . . . \frac{- 1}{N}, 0, \frac{1}{N} . . . 1$ 中找到

′

\delta'<\delta

$δ^{'} < δ$ ，其中

′

\delta’=\frac{N_{\delta’}}{N}

$δ^{'} = \frac{N _{δ^{'}}}{N}$ ，使得区间整数映射区间的子区间

[

−

′

]

[-\delta’,\delta’]

$[- δ^{'}, δ^{'}]$ 内，满足

∣

−

(

)

∣

|y_0-y(x)|<\varepsilon

$∣ y_{0} - y (x) ∣ < ε$ 。

如果跳出数学抽象，那么这里的

\delta

$δ$ 和

′

\delta’

$δ^{'}$ 都是具备现实意义的。对于没怎么接触过编程的人来说，第一眼看到我们上面所画出的图，必然会想当然地认为，这张图是连续的。然而，这只不过是不到100个点的一种拟合。即便真的用无穷多个点画出一条曲线，但屏幕也只能像素的形式进行显示，这个曲线仍旧是有分立的点连接而成的，只不过这些个分立的点足够稠密，以至于可以骗过我们的眼睛。

所以，可以认为

\delta

$δ$ 是人眼的一种分辨极限，当两个点的距离小于

\delta

$δ$ 时，便无法区分这两个点是否分离。那么，当我们画图的时候，只要确保两个点的距离

′

\delta'<\delta

$δ^{'} < δ$ ，就会自然地在我们的眼中形成连续的图像。也就是说，如果我们的区间长度为

$L$ ，那么只要选取

′

\frac{L}{\delta’}

$\frac{L}{δ ^{'}}$ 个点来画图，我们的视觉就会欺骗我们。

4 极限常数

圆周率 $\pi π$

历史上很早就产生了极限思想，而割圆术就是这种思想的绝佳体现。

设正N边形边长为

$a$ ，则周长为

L=Na

$L = N a$ ，而其边长与边数的关系可以表示为

sin

⁡

→

sin

⁡

a=2R\sin\frac{\pi}{N}\to L=2NR\sin\frac{\pi}{N}

$a = 2 R sin \frac{π}{N} \to L = 2 N R sin \frac{π}{N}$

圆可以理解为边数为无穷多的正多边形，即

lim

⁡

→

∞

sin

⁡

L=\lim_{n\to\infty}2nR\sin\frac{\pi}{n}=2\pi R

$L = n \to \infty lim 2 n R sin \frac{π}{n} = 2 π R$

由于古人不知道圆周率，所以需要通过不断地测量多边形的边长和周长来逼近，则对于正多边形而言

sin

⁡

\Pi=\frac{L}{2R}=N\sin\frac{\pi}{N}

$Π = \frac{L}{2 R} = N sin \frac{π}{N}$

N = np.arange(3,100)
Pi = N*np.sin(np.pi/N)
plt.plot(N,Pi)
plt.show()

在这里插入图片描述

由于到了后面，误差变得越来越小，所以用对数来看一下误差的变化

N = np.arange(3,1e4)
err = np.log10(np.pi-N*np.sin(np.pi/N))
plt.plot(N,err)
plt.show()

在这里插入图片描述

可见割到了正10000边形，也只能得到

−

10^{-7}

$1 0^{- 7}$ 的精度，通过计算可以得到正10000边形算出的圆周率约为3.14159260，所以我们至今也无法知道祖冲之他老人家到底是怎么得到的。

>>> 10000*np.sin(np.pi/10000)
3.141592601912665

圆周率的这种定义其实也提供了一个重要极限，即

lim

⁡

→

∞

sin

⁡

→

lim

⁡

→

sin

⁡

\pi=\lim_{N\to\infty}N\sin\frac{\pi}{N}\to\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1

$π = N \to \infty lim N sin \frac{π}{N} \to x \to 0 lim \frac{sin x}{x} = 1$

自然对数e

很多人喜欢把自然对数和复利计算联系在一起。

假设某银行的年利率为

$x$ ，即存入W元，一年之后本息合计

(

)

W(1+x)

$W (1 + x)$ ；如果一年之后将本息重新存入银行，则再过一年，本息合计为

(

)

W(1+x)^2

$W (1 + x)^{2}$ ，重复操作

$n$ 年之后，则其本息之和为

(

)

W(1+x)^n

$W (1 + x)^{n}$ 。

假设这家银行可以按月算利率，则每月利率为

\frac{x}{12}

$\frac{x}{1 2}$ ，如果按月存取，则每年本息之和为

(

)

W(1+\frac{x}{12})^{12}

$W (1 + \frac{x}{1 2})^{12}$ 。

假设这家很行可以按照任意时间算利率，若每次存钱

\frac{1}{n}

$\frac{1}{n}$ 年，则利率为

\frac{x}{n}

$\frac{x}{n}$ ，相应一年的本息之和为

(

)

W(1+\frac{x}{n})^n

$W (1 + \frac{x}{n})^{n}$ 。

问题来了，是不是随着

$n$ 逐渐增大，一年的收获会越来越多呢？

为了计算方便，假设

x=1

$x = 1$ ，即正常

$W$ 存一年，一年之后本息翻倍为2W。

结果发现

在这里插入图片描述

x = np.arange(1,100)
E = (1+1/x)**x
plt.plot(x,E)
plt.show()

最终这个值趋近于一个常数，这个常数就定义为

$e$ ，看来一年最多翻e倍，这个方法没办法发财了。但至少明白了一个著名的极限

lim

⁡

→

∞

(

)

2.7182818…

e=\lim_{n\to\infty}(1+\frac{1}{n})^n=2.7182818…

$e = n \to \infty lim (1 + \frac{1}{n})^{n} = 2.7182818 . . .$

当然，银行不太可能有翻倍这么爽的年利率，设为

$x$ 的话，则有

(

lim

⁡

→

∞

(

)

lim

⁡

→

∞

(

)

lim

⁡

→

∞

(

)

e^x=(\lim_{n\to\infty}(1+\frac{1}{n})^n)^x=\lim_{n\to\infty}(1+\frac{1}{n})^{nx}=\lim_{m\to\infty}(1+\frac{x}{m})^m

$e^{x} = (n \to \infty lim (1 + \frac{1}{n})^{n})^{x} = n \to \infty lim (1 + \frac{1}{n})^{n x} = m \to \infty lim (1 + \frac{x}{m})^{m}$

很合理。

欧拉常数 $\gamma γ$

对

$e$ 两侧以

$e$ 为底取对数，可得

lim

⁡

→

∞

⁡

(

)

lim

⁡

→

∞

⁡

(

)

lim

⁡

→

∞

⁡

(

)

−

⁡

1=\lim_{n\to\infty}n\ln(1+\frac{1}{n})=\lim_{n\to\infty}n\ln(\frac{n+1}{n})=\lim_{n\to\infty}\frac{\ln(n+1)-\ln n}{\frac{1}{n}}

$1 = n \to \infty lim n ln (1 + \frac{1}{n}) = n \to \infty lim n ln (\frac{n + 1}{n}) = n \to \infty lim \frac{ln ( n + 1 ) - ln n}{\frac{1}{n}}$

根据这个式子，我们可以猜测

∑

∞

−

∑

∞

[

⁡

(

)

−

⁡

]

lim

⁡

→

∞

∑

−

⁡

\gamma=\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n}-\sum_{n=1}^\infty[\ln(n+1)-\ln n]=\lim_{N\to\infty}\sum_{n=1}^N\frac{1}{n}-\ln N

$γ = n = 1 \sum \infty \frac{1}{n} - n = 1 \sum \infty [ln (n + 1) - ln n] = N \to \infty lim n = 1 \sum N \frac{1}{n} - ln N$

是一个常数：

x = np.arange(1,10000)
# np.cumsum相当于求离散的“积分”
G = np.cumsum(1/x)-np.log(x)
plt.plot(x[:100],G[:100])
plt.show()

在这里插入图片描述

我们猜对了，这个常数即欧拉常数。

其证明过程也不复杂

⁡

∫

⌊

⌋

−

⌊

⌋

∑

∫

−

⌊

⌋

$\begin{aligned} \ln N&=\int^N_1\frac{1}{x}\text dx=\int^N_1\frac{1}{x}+\frac{1}{\lfloor x\rfloor}-\frac{1}{\lfloor x\rfloor}\text dx\\ &=\sum_{n=1}^N\frac{1}{n}+\int^N_1\frac{1}{x}-\frac{1}{\lfloor x\rfloor}\text dx \end{aligned}$

$ln N = \int_{1}^{N} \frac{1}{x} d x = \int_{1}^{N} \frac{1}{x} + \frac{1}{⌊ x ⌋} - \frac{1}{⌊ x ⌋} d x = n = 1 \sum N \frac{1}{n} + \int_{1}^{N} \frac{1}{x} - \frac{1}{⌊ x ⌋} d x$

令

−

∫

−

⌊

⌋

-\gamma=\int^N_1\frac{1}{x}-\frac{1}{\lfloor x\rfloor}\text dx

$- γ = \int_{1}^{N} \frac{1}{x} - \frac{1}{⌊ x ⌋} d x$ ，则

∫

−

⌊

⌋

⌊

⌋

∫

⌊

⌋

\gamma=\int^N_1\frac{x-\lfloor x\rfloor}{x\lfloor x\rfloor}\text dx<\int^N_1\frac{1}{\lfloor x\rfloor^2}\text dx

$γ = \int_{1}^{N} \frac{x - ⌊ x ⌋}{x ⌊ x ⌋} d x < \int_{1}^{N} \frac{1}{⌊ x ⌋ ^{2}} d x$

则

\gamma

$γ$ 收敛。

5 洛必达法则

令

$N$ 为常数，则常规的极限运算大致有以下几种

∞

⋇

∞

(

≠

)

∔

∞

−

∞

−

∞

(

≠

)

∞

(

≠

)

$\begin{matrix} &\infty\pm N=\infty\quad&\infty\divideontimes N=\infty(N\not =0)& N\dotplus\infty=\infty\\ &N-\infty=-\infty& N/\infty=0& \pm N/0=\pm\infty\\ &N^\infty=\infty(N\not=1)\quad&\infty^N=\infty(N\not=0) \end{matrix}$

$\infty \pm N = \infty N - \infty = - \infty N^{\infty} = \infty (N \neq = 1) \infty ⋇ N = \infty (N \neq = 0) N / \infty = 0 \infty^{N} = \infty (N \neq = 0) N ∔ \infty = \infty \pm N / 0 = \pm \infty$

而常规情况之外的，就要通过洛必达法则来处理

∞

⋅

∞

−

∞

\frac{0}{0}, \frac{\infty}{\infty}, 0\cdot\infty,\infty-\infty,0^0,\infty^0,1^\infty

$\frac{0}{0}, \frac{\infty}{\infty}, 0 \cdot \infty, \infty - \infty, 0^{0}, \infty^{0}, 1^{\infty}$

对于

∞

\frac{0}{0}, \frac{\infty}{\infty}

$\frac{0}{0}, \frac{\infty}{\infty}$ 而言，洛必达法则在形式上可以表示为

lim

⁡

→

(

)

(

)

lim

⁡

→

′

(

)

′

(

)

\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}

$x \to a lim \frac{f ( x )}{g ( x )} = x \to a lim \frac{f ^{'} ( x )}{g ^{'} ( x )}$

理解洛必达法则可从幂函数入手，假设

(

)

f(x)=x^n

$f (x) = x^{n}$ ，

(

)

g(x)=x^m

$g (x) = x^{m}$ ，则

(

)

(

)

−

\frac{f(x)}{g(x)}=x^{n-m}

$\frac{f ( x )}{g ( x )} = x^{n - m}$ 。当

→

x\to0

$x \to 0$ 时，若

−

n-m>0

$n - m > 0$ ，则极限为无穷大，否则极限为0。

所以，尽管二者都为0，但0和0也有不同。问题是这种不同是否明显？如果定义域在

[

−

]

[-1,1]

$[- 1, 1]$ 这个区间，则除了

y=x

$y = x$ 之外，其他几个函数在0附近的确区别不大

x = np.arange(-1.5,1.5,0.01)
lines = [plt.plot(x,x**n,label=f"n={n}",lw=0.5) for n in range(1,6)]
plt.legend()
plt.xlim(-1.5,1.5)
plt.ylim(-1.5,1.5)
plt.show()

在这里插入图片描述

然而随着坐标尺度的缩小，区别变得明显起来

x = np.arange(-0.1,0.1,1e-3)
lines = [plt.plot(x,x**n,label=f"n={n}",lw=0.5) for n in range(2,6)]
plt.legend()
plt.ylim(-1e-3,1e-3)
plt.show()

在这里插入图片描述

这意味着越是逼近0，不同阶数的幂函数将渐行渐远，如果看一下动画图或许会更好

在这里插入图片描述

from matplotlib import animation

x = np.arange(-1e-2,1e-2,1e-5)

fig = plt.figure(figsize=(9,4))
ax = fig.add_subplot(1,1,1)
lines = [ax.plot(x,x**n,label=f"n={n}",lw=0.5,scalex=True, scaley=True)[0] for n in range(2,10)]
plt.legend()

Y = 1e-3
plt.ylim(-Y,Y)
def animate(i):
    d = Y*np.exp(-i/10)
    plt.ylim(-d,d)
    return lines

ani = FuncAnimation(fig, animate, interval=100, frames=300)
ani.save("py1-9.gif")

plt.show()

回顾极限的定义，对于

lim

⁡

→

\lim_{x\to0}\frac{x^3}{x^2}=0

$x \to 0 lim \frac{x ^{3}}{x ^{2}} = 0$

意味着对于任意小的

\varepsilon

$ε$ ，均能找到一个

$X$ ，当

∈

[

]

x\in[0,X]

$x \in [0, X]$ 时，有

\frac{x^3}{x^2}<\varepsilon

$\frac{x ^{3}}{x ^{2}} < ε$ ，这是显然的。

而我们之所以觉得“显然”，是因为我们接受了大量的指数运算的训练，而指数之间的运算又基于一条更简单的规则

−

\frac{x^n}{x}=x^{n-1}

$\frac{x ^{n}}{x} = x^{n - 1}$ 。或许其真正的运算过程为

\frac{x^3}{x^2}=\frac{\frac{x^3}{x}}{\frac{x^2}{x}}=\frac{x^2}{x}=x

$\frac{x ^{3}}{x ^{2}} = \frac{\frac{x ^{3}}{x}}{\frac{x ^{2}}{x}} = \frac{x ^{2}}{x} = x$

受到这种运算形式的启发，对于一个相对复杂的表达式，或许可以对上式进行一点更改

lim

⁡

→

(

)

(

)

lim

⁡

→

(

)

−

(

)

−

\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{g(x)}= \lim_{x\to0}\frac{\frac{f(x)-0}{x}}{\frac{g(x)-0}{x} }=0

$x \to 0 lim \frac{f ( x )}{g ( x )} = x \to 0 lim \frac{\frac{f ( x ) - 0}{x}}{\frac{g ( x ) - 0}{x}} = 0$

这个时候自然而然地出现了一个很熟悉的表达式

lim

⁡

→

(

)

−

\lim_{x\to0}\frac{f(x)-0}{x}

$lim_{x \to 0} \frac{f ( x ) - 0}{x}$ ，正是

′

(

)

lim

⁡

→

(

)

−

(

)

f'(0)=\lim_{x\to0}\frac{f(0+x)-f(0)}{x}

$f^{'} (0) = x \to 0 lim \frac{f ( 0 + x ) - f ( 0 )}{x}$

所以，对于

(

)

f(0)=0

$f (0) = 0$ 和

(

)

g(0)=0

$g (0) = 0$ 的情况，可以存在

lim

⁡

→

(

)

(

)

′

(

)

′

(

)

\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f'(0)}{g'(0)}

$x \to 0 lim \frac{f ( x )}{g ( x )} = \frac{f ^{'} ( 0 )}{g ^{'} ( 0 )}$

若

′

(

)

f'(0)

$f^{'} (0)$ 和

′

(

)

g'(0)

$g^{'} (0)$ 仍然同时为0，则继续洛，一直洛到祖坟上去。回顾一开始引入的重要极限，洛必达法则很好地验证了其正确性。

lim

⁡

→

sin

⁡

(

)

lim

⁡

→

sin

⁡

′

cos

⁡

\lim_{x\to 0}\frac{\sin(x)}{x}=\lim_{x\to 0}\frac{\sin’x}{x’}=\frac{\cos0}{1}=1

$x \to 0 lim \frac{sin ( x )}{x} = x \to 0 lim \frac{sin ^{'} x}{x ^{'}} = \frac{cos 0}{1} = 1$

可以画图验证一下二者在趋近于0时的特性

x = np.arange(-0.01,0.01,0.001)
plt.plot(x,x,label="x")
plt.plot(x,np.sin(x),label="sin x")
plt.legend()
plt.show()

在这里插入图片描述

由于实在靠的太近，根本看不出差别，所以用差的对数来表示一下

x = np.arange(0,0.01,1e-4)
ax = plt.subplot()
ax.plot(x,x-np.sin(x))
ax.set_yscale('log')
plt.show()

在这里插入图片描述

可见这个收敛速度是很快的，当

0.002

x=0.002

$x = 0.002$ 时，二者之间的差就已经达到了

−

10^{-9}

$1 0^{- 9}$ 。